Question

设函数f（x）=（log₂x）²+3log₂x+2，

1

4

≤x≤4，
（Ⅰ）若t=log₂x，求t取值范围； 
（Ⅱ）求f（x）的最值，并给出函数取最值时对应的x的值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,二次函数在闭区间上的最值

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）利用对数函数的单调性，即可求t取值范围； 
（Ⅱ）配方，利用二次函数的性质求得函数f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

4

≤x≤4，t=log₂x，
∴-2≤t≤2；
（Ⅱ）令t=log₂x（-2≤t≤2），则y=t²+3t+2=（t+

3

2

）²-

1

4

故当t=-

3

2

，即log₂x=-

3

2

，x=2-

3

2

时，函数f（x）取得最小值为-

1

4

，
当t=2，log₂x=2，即x=4时，函数f（x）取得最大值为12．

点评：本题主要考查对数函数的单调性，二次函数的性质应用，属于中档题．