Question

如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，，．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点B到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（1）取BD中点M，连接AM，ME．因，故AM⊥BD，因 DB=2，DC=1，满足：DB²+DC²=BC²，所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，因E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线，由此能够证明AE⊥平面BDC．
（2）以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系由B（1，0，0），，，D（-1，0，0），C（-1，1，0），知，由此能法度出异面直线AB与CD所成角．
（3）由，知满足，，是平面ACD的一个法向量，由此能求出点B到平面ACD的距离．
解答：解：（1）如图1取BD中点M，连接AM，ME．因．
∴AM⊥BD（3）…（1分）
因 DB=2，DC=1，满足：DB²+DC²=BC²，
所以△BCD是BC为斜边的直角三角形，BD⊥DC，
因E是BC的中点，所以ME为△BCD的中位线，
∴ME⊥BD，…（2分）
∴∠AME是二面角A-BD-C的平面角，
∴∠AME=60°…（3分）
∵AM⊥BD，ME⊥BD且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线
∴BD⊥平面AEM∵AE?平面AEM，
∴BD⊥AE…（4分）
因．，DB=2，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴，
∴AE²+ME²=1=AM²，
∴AE⊥ME…（6分）
∴BD∩ME，BD?面BDC，ME?面BDC，
∴AE⊥平面BDC…（7分）
（2）如图2，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，（8分）
则由（1）及已知条件可知B（1，0，0），，，
D（-1，0，0），C（-1，1，0），
，…（9分）
设异面直线AB与CD所成角为θ，
则…（10分）
==．…（11分）
（3）由，
可知满足，，是平面ACD的一个法向量，…（12分）
记点B到平面ACD的距离d，
则在法向量方向上的投影绝对值为d
则…（13分），
所以d=…（14分）
点评：本题考查直线和平面垂直的证明，求异面直线与直线所成角的余弦值，求点到平面的距离．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．