Question

有一个项数为10的实数等比数列{a_n}，S_n（n≤10）表示该数列的前n项和．当2≤n≤10时，若S_k，S₁₀，S₇成等差数列，求证a_k-1，a₉，a₆也成等差数列．

Answer 1

由题意，当q=1时，20a₁=ka₁+7a₁，∴k=13＞10，
此时s_k，s₁₀，s₇不成等差数列；
当q≠1时，s_k=

a1(1-qk)

1-q

，s₁₀=

a1(1-q10)

1-q

，s7=

a1(1-q7)

1-q

；
由2s₁₀=s_k+s₇得：2q¹⁰=q^k+q⁷，
即：2q⁸=q^k-2+q⁵，
∴2a₁q⁸=a₁q^k-2+a₁q⁵，
从而得：2a₉=a_k-1+a₆，
∴a_k-1，a₉，a₆也成差数列．