Question

【题目】在平面直角坐标系中，动点到定点的距离与到定直线的距离的比为，动点的轨迹记为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若点在轨迹上运动，点在圆上运动，且总有，

求的取值范围；

（3）过点的动直线交轨迹于两点，试问:在此坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点?若存在，求出点的坐标.若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，理由见解析

【解析】

（1）设点，由化简求解；（2）圆心.根据圆与椭圆的位置关系，分两种情况讨论:①当时，②当时，设，分别利用三角代换求得其最值，即可得到取值范围；（3）把代入椭圆的方程可得:，取点时满足.然后证明:在此坐标平面上存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点即可.

（1）设点，由题意可得:，

即:.

（2）圆心

:①当时，∵总有，

∴

.②当时，设，总有，

所以

，

∴.

综上可得:的取值范围是∪.

（3）把代入椭圆的方程可得:，

解得.，所以，，取点时满足.

下面证明:存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点.

设过点的动直线的方程为:，.

联立，化为:，

∴，.

则

∴在此坐标平面上存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点.