Question

【题目】已知椭圆（）的左焦点为，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，若动直线与椭圆交于不同两点、（、都在轴上方），且.

（i）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线的方程；

（ii）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）（i）；（ii）存在定点.

【解析】

（I）结合椭圆的性质，计算a,b的值，即可。（II）（i）计算直线AF的斜率，得到BF的斜率，得到直线BF的方程，代入椭圆方程，得到B点坐标，计算AB直线的斜率，结合点斜式，计算方程，即可。（ii）设出直线AF的方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，得到直线AB的斜率，设出直线AB的方程，令y=0，计算x的值，计算点坐标，即可。

解：（I）设椭圆的标准方程为：（）

离心率为，，，

点为椭圆上任意一点，且的最小值为，

，，

解得，，

椭圆的方程为.

（II）

（i）由题意，，

，，

直线为：，

代入，得，解得或，

代入，得，舍，或，.

，直线的方程为：.

（ii）存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.

证明：，在于轴的对称点在直线上，

设直线的方程为：，

代入，得，

由韦达定理得，，

由直线的斜率，得的方程为：

令，得：

，

，，

，

对于动直线，存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点.