Question

【题目】已知函数.

（1）若过点的直线与曲线相切，求直线的斜率的值；

（2）设，若，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设直线的方程为，设切点坐标为，根据题意可得出关于、的方程组，求出、的值，进而可得出的值；

（2）根据题意知，当时，，当时，，然后求得函数的导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证条件“当时，，当时，”是否满足，由此可得出实数的取值范围.

（1）因为直线过点，不妨设直线的方程为，由题意得，

设切点为，则，解得.

直线过点，则有，解得，即直线的斜率为；

（2），.

①若，则当时，，函数在上单调递减，

此时，即，不合乎题意；

②若，则，当且仅当时等号成立.

（i）当时，，函数在上单调递增.

又，所以当时，；当时，.

于是有；

（ii）当时，记，则，

当时，，所以函数在上单调递减，

此时，即，不合乎题意；

（iii）若，记，则，

当时，，所以函数在上单调递减，

此时，即，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.