Question

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用导数的运算法则可得f^′（x）=lnx+1（x＞0），进而得到当时与当时，函数f（x）的单调性及极小值，也即最小值．
（II）由（I）可知：．同理利用导数即可得到g（x）的极大值即最大值．只要证明对任意n∈（0，+∞），都有即可．
解答：（I）解：∵f（x）=xlnx，∴f^′（x）=lnx+1（x＞0），
当时，f^′（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当时，f^′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
因此，当x=时，函数f（x）取得极小值，也即最小值，==-．
（II）证明：由（I）可知：．
由g（x）=，得．
当x∈（0，1）时，g^′（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g^′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴函数g（x）在x=1时取得极大值即最大值，．
∴对任意m，n∈（0，+∞），都有f（m）≥g（n）成立．
点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．