Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，下列结论中错误的是（ ）
A．?x_α∈R，f（x_α）=0
B．函数y=f（x）的图象是中心对称图形
C．若x_α是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x_α）单调递减
D．若x_α是f（x）的极值点，则f^′（x_α）=0

Answer 1

【答案】分析：利用导数的运算法则得出f^′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出．
解答：解：f^′（x）=3x²+2ax+b．
（1）当△=4a²-12b＞0时，f^′（x）=0有两解，不妨设为x₁＜x₂，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+		-		+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x₂是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（-∞，x₂）不具有单调性，故C不正确．
②∵+f（x）=+x³+ax²+bx+c=，
=，
∵+f（x）=，
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x₁，x₂分别为极值点，则，D正确．
④∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→-∞时，f（x）→-∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?x_α∈R，f（x_α）=0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
故选C．
点评：熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法．