Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直线PA与底面ABCD所成的角为60°，M、N分别是PA、PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求证：直线DN⊥平面PBC；
（3）若AB=2，求棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

分析：（1）因为M、N是PA、PB中点，结合三角形中位线定理得MN∥AB，从而MN∥CD，由线面平行的判定定理证得MN∥平面PDC；
（2）因为DN⊥PB，DN⊥CD，由线面垂直判定定理得直线DN⊥平面PBC；
（3）用等体积法，求V_P-ABC相应的高PD和底为ABC，再用体积公式即可．

解答：（1）证明：∵M、N是PA、PB中点，
∴MN∥AB，从而MN∥CD．（2分）
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC内，
∴直线MN∥平面PDC；（4分）

（2）证明：∵AB⊥AD，AB=

2

AD，
∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，
直线PA与底面ABCD成60°角，
∴PD=

3

AD．∴PD=BD．（6分）
∵N是PB的中点，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一点N，
∴直线DN⊥平面PBC；（10分）

（3）V_B-PAC
=V_P-ABC
=

1

3

S△ABC•PD
=

1

3

•

1

2

AB•AD•PD
=

2 3

3

．（14分）

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理以及线线平行垂直关系的转化．