题目内容

7、n∈N+，Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=
n2n-1
．
分析：本题中所求和中的每一项kCnk刚好是二项式（1+x）n的通项Cnkxk的导数的系数，故可以先将二项式（1+x）n展开，然后两边求导，并将x取值为1即可求解为n2n-1．（此外本题也可以用倒序相加法求解）
解答：解：∵（1+x）n=Cn0+Cn1x1+Cn2x3+Cn3x3+…+Cnnxn，两边同时求导可得n（1+x）n-1=Cn1+2Cn2x1+3Cn3x2+…+nCnnxn-1
令x=1，得n2n-1=Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn，
故答案为n2n-1
点评：本题主要考查二项式定理的应用，属于中等难度题型，在处理有关二项式定理有关系数问题时通常与二项式中x赋值有关．
练习册系列答案
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（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）设n是满足Cn0+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+
1n
）n＜3．
已知函数f（x）=x（x-
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）的定义域为（n，n+1）（n∈N*），f（x）的函数值中所有整数的个数记为g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表达式；
（3）若对于任意的n∈N*，不等式（Cn0+Cn1+…+Cnn）l≥g（n）-25（其中Cni，i=1，2，3，…，n为组合数）都成立，求实数l的最小值．

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（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+数学公式）n＜3．
已知函数f（x）=x（x-
1
2
）的定义域为（n，n+1）（n∈N*），f（x）的函数值中所有整数的个数记为g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表达式；
（3）若对于任意的n∈N*，不等式（Cn0+Cn1+…+Cnn）l≥g（n）-25（其中Cni，i=1，2，3，…，n为组合数）都成立，求实数l的最小值．
（1）求证：Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n•2n-1 （n∈N*）
（2）设n是满足Cn+2Cn1+3Cn2+…+（n+1）•Cnn＜1000的最大正整数，求97n除以99的余数．
（3）当n∈N*且n＞1时，求证2＜（1+）n＜3．

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