题目内容

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1= $数学公式$ （n∈N）．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设： $数学公式$ 求数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求证：Pn＞ $数学公式$ ．

解：（1）由a_n+1= $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，
所以知：数列{ $\text{[math]}$ }是以1为首项，以2为公差的等差数列，
所以 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
从而： $\text{[math]}$ ，
则 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1= $\text{[math]}$
=（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ ）
=1- $\text{[math]}$ ．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）= $\text{[math]}$ ，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴ $\text{[math]}$
设： $\text{[math]}$ ，则P_n＞T_n
从而： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
故：Pn＞ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由a_n+1= $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，由此得 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ 得： $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，从而： $\text{[math]}$ ，由裂项求和法能得到数列{b_nb_n+1}的前n项的和T_n．
（3）由P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）= $\text{[math]}$ ，（4n）²＜（4n）²-1，知 $\text{[math]}$ ，由此能够证明Pn＞ $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法和数列与不等式的综合运用，解题时要注意构造法、裂项求和法的合理运用．