Question

【题目】已知为坐标原点，直线的方程为，点是抛物线上到直线距离最小的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点.

（1）求点的坐标；

（2）求证：直线恒过定点；

（3）在（2）的条件下过向轴做垂线，垂足为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）此时点坐标为.（2）直线恒过定点.（3）4.

【解析】试题分析：(1)设点的坐标为，根据题意点是抛物线上到直线距离最小的点，代入点到直线的距离公式进行求解（2）设点的坐标为根据题意当求得，当时求得点的坐标为，给出直线方程，求恒过点坐标（3）转化面积为然后计算即可求得结果

解析：（1）设点的坐标为，则

所以，点到直线的距离.

当且仅当时等号成立，此时点坐标为.

（2）设点的坐标为，显然.

当， 点坐标为，直线的方程为；可得，直线；

当时，直线的方程为，

化简得；

综上，直线的方程为

与直线的方程联立，可得点的纵坐标为

因为， 轴，所以点的坐标为.

因此， 点的坐标为

当，即时，直线的斜率.

所以直线的方程为，

整理得

当时，上式对任意恒成立，

此时，直线恒过定点，也在上，

当时，直线的方程为，仍过定点，

故符合题意的直线恒过定点.

（3）所以

设的方程为

则 ， ，