Question

已知非常数函数f（x）在上可导，当x∈（-∞，1]时，有（1-x）f'（x）≤0，且对任意x∈R都有f（1-x）=f（1+x），则不等式f（2-x）＞f（2x+1）的解集是    ．

Answer 1

【答案】分析：先由当x∈（-∞，1]时，有（1-x）f'（x）≤0，得到函数在x∈（-∞，1]上为增函数，再将变量转化到区间x∈（-∞，1]，利用单调性解不等式，应注意函数的定义域．
解答：解：∵当x∈（-∞，1]时，有（1-x）f'（x）≤0，∴f'（x）≥0，∴函数在x∈（-∞，1]上为增函数
又f（1-x）=f（1+x），∴f（2-x）=f（x），
∴f（x）＞f（2x+1），∴，∴x≤0，
故答案为（-∞，0]
点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的对称性，考查利用单调性解不等式，应注意函数的定义域．