Question

已知非常数函数f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）为奇函数，求k的值．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函数，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得f（-2）+f（2）=0，化简得

1-4k2

-3

=1，由此解得k 的值．
（2）由题意可得，当x＞1时，函数f（x）的导数为 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．分当a＞1时和当
0＜a＜1两种情况，分别求得k的取值范围．

解答：解：（1）由于非常数函数f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1），若f（x）为奇函数，
则有f（-2）+f（2）=0，即 loga

1-2k

3

+loga

1+2k

-1

=loga

1-4k2

-3

=0，故有

1-4k2

-3

=1，
解得k=1，或k=-1（当k=-1时，函数为常数函数，故舍去）．
综上可得，k=1．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函数，则函数f（x）的导数为 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．
当a＞1时，由题意可得x＞1时，

1-x

1+kx

＞0，可得 1+kx＜0，即 k＜

-1

x

，可得k＜-1．
当 0＜a＜1时，由题意可得x＞1时，

1-x

1+kx

＜0，可得 1+kx＞0，即 k＞

-1

x

，可得k≥0．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，属于中档题．