Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC，BC₁∩B₁C=E，F是AC的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）设∠B₁AC₁=θ，且cosθ=

2

3

，试在棱AA₁上找一点M，使得BM⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证：EF∥平面AB₁C₁，只需证明EF∥AB₁即可；
（Ⅱ）M为AA₁的中点时，在矩形AA₁B₁B中，易证得BM⊥AB₁，
再证明BM⊥AC，即得BM⊥平面AB₁C．

解答：解：（Ⅰ）在△AB₁C中，E，F分别是B₁C和AC的中点，则EF∥AB₁，而EF?平面AB₁C₁，AB₁?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．
（Ⅱ）设三棱柱的侧棱AA₁=b，AB=AC=a，
由∠BAC=90°，可得BC=

2

a，由题意可得AB₁=AC₁=

a2+b2

，
在△AB₁C₁中，
cosθ=

( a2+b2 )2+( a2+b2 )2-( 2 a)2

2 a2+b2 a2+b2

=

b2

a2+b2

=

2

3

，
∴b²=2a²，即b=

2

a．
当M为AA₁的中点时，在矩形AA₁B₁B中，易证得BM⊥AB₁，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，
∴AC⊥平面AA₁B₁B，BM?平面AA₁B₁B，
∴BM⊥AC，又AC∩AB₁=A，∴BM⊥平面AB₁C．

点评：本题考查直线与平面的平行和垂直的判定，考查学生逻辑思维能力，是中档题．