题目内容
已知{an }是a1=23，公差d为整数的等差数列，且前6项为正，第7项开始为负．（1）求d的值；
（2）求前n项之和Sn 的最大值；
（3）当Sn 是正数时求n的最大值．
【答案】分析：（1）利用等差数列的通项公式列出a6＞0，a7＜0，求出d的值；
（2）根据d＜0判断{an}是递减数列，再由a6＞0，a7＜0，得出n=6时，Sn取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可．
解答：解：（1）由已知a6=a1+5d=23+5d＞0，a7=a1+6d=23+6d＜0，
解得：-
＜d＜-
，又d∈Z，∴d=-4
（2）∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0
∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+
（-4）=78
（3）Sn=23n+
（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0
∴0＜n＜
，又n∈N*，
所求n的最大值为12．
点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，（2）问d＜0判断{an}是递减数列，是解题的关键，属于中档题．
（2）根据d＜0判断{an}是递减数列，再由a6＞0，a7＜0，得出n=6时，Sn取得最大值；
（3）由等差数列的前n项和公式列出不等式，解不等式即可．
解答：解：（1）由已知a6=a1+5d=23+5d＞0，a7=a1+6d=23+6d＜0，
解得：-
＜d＜-，又d∈Z，∴d=-4（2）∵d＜0，∴{an}是递减数列，又a6＞0，a7＜0
∴当n=6时，Sn取得最大值，S6=6×23+
（-4）=78（3）Sn=23n+
（-4）＞0，整理得：n（50-4n）＞0∴0＜n＜
，又n∈N*，所求n的最大值为12．
点评：本题考查了等差数列的性质、通项公式以及前n项和公式，（2）问d＜0判断{an}是递减数列，是解题的关键，属于中档题．
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