Question

18．已知f（x）=a^2x+4•a^x-5（a＞0，且a≠1）．
（1）当a=3时，求f（x）的值域；
（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对原函数配方得到f（x）=（3^x+2）²-9，根据3^x＞0，便可得出（3^x+2）²的范围，从而得出f（x）的范围，即f（x）的值域；
（2）先配方f（x）=（a^x+2）²-9，从而根据f（x）＞0恒成立得到a^x+2＞3在x∈（0，+∞）上恒成立，从而可知函数a^x为增函数，从而a＞1．

解答 解：（1）当a=3时，f（x）=3^2x+4•3^x-5=（3^x+2）²-9；
3^x＞0；
∴3^x+2＞2；
∴（3^x+2）²＞4；
∴f（x）＞-5；
∴f（x）的值域为（-5，+∞）；
（2）f（x）=（a^x+2）²-9；
f（x）＞0恒成立；
∴（a^x+2）²-9＞0恒成立；
∴a^x+2＞3恒成立；
∴a^x＞1对任意x∈（0，+∞）恒成立；
∴a＞1；
∴实数a的取值范围为（1，+∞）．

点评 考查配方求二次式子的范围的方法，指数函数的值域，根据不等式的性质求函数的值域，指数函数的单调性．