题目内容

已知f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，α∈（0，π） 且f（
π
2
=
3
-2）．
（1）求α；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数y=f（x+α）的值域．
（1）因为f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，∴f（
π
2
）=2sin（
π
2
+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
π
4
=
3
-
4
3
3
tanα•
1
2
=
3
-2，
所以，tanα=
3
，又 α∈（0，π），故 α=
π
3
．
（2）由（1）得，f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
=2sin（x+
π
6
）-4cos2
x
2
=
3
sinx+cosx-2（1+cosx）=2（
3
2
sinx-
1
2
cosx）-2=2sin（x-
π
6
）-2，
所以，y=f（x+α）=f（x+
π
3
）=2sin（x+
π
3
-
π
6
）-2=2sin（x+
π
6
）-2．
因为
π
2
≤x≤π，所以
2π
3
≤x+
π
6
≤
7π
6
，∴-
1
2
≤sin（x+
π
6
）≤
3
2
，∴-3≤2sin（x-
π
6
）-2≤
3
-2，
因此，函数y=f（x+α）的值域为[-3，
3
-2]．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=2sin（2x+
π
6
）+a+1（a为常数）．
（1）求f（x）的递增区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x的集合．
已知f（x）=2sin（
x
2
+
π
6
）-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．
（2）函数f（x）的图象可以由函数f（x）=sin
x
2
（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
已知f（x）=2sin（x+
π
6
）（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的周期和最大值；
（Ⅱ）若f（A-
π
6
）=
2
3
，求cos2A的值．
（2011•孝感模拟）已知f（x）=2sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的表达式为（　　）
已知f（x）=2sin（π-x）sin(
π
2
-x)．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若A，B，C是锐角△ABC的内角，其对边分别是a，b，c，且f(
B
2
)=
3
2
，b2=ac试判断△ABC的形状．

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