Question

11．求函数y=2cosx（sinx+cosx）的图象的对称中心和对称轴方程．

Answer 1

分析 利用单项式乘多项式展开，再由降幂公式降幂，结合辅助角公式化积，则函数y=2cosx（sinx+cosx）的图象的对称中心和对称轴方程可求．

解答 解：y=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x
=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）+1$．
由$2x+\frac{π}{4}=kπ$，得$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，k∈Z．
∴函数y=2cosx（sinx+cosx）的图象的对称中心（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，1$）（k∈Z）；
由$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+kπ$，得x=$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∴函数y=2cosx（sinx+cosx）的图象的对称轴方程为x=$\frac{π}{8}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．