Question

4．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-3x，x≤a}\\{-2x，x＞a}\end{array}\right.$．
①若a=0，则f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（-∞，-1）．

Answer 1

分析 ①将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=-1时，f（x）的最大值为2；
②若f（x）无最大值，则$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\\-2a＞2\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：①若a=0，则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{3}-3x，x≤0\\-2x，x＞0\end{array}\right.$，
则f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}^{2}-3，x≤0\\-2，x＞0\end{array}\right.$，
当x＜-1时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
当x＞-1时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
故当x=-1时，f（x）的最大值为2；
②f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x}^{2}-3，x≤a\\-2，x＞a\end{array}\right.$，
令f′（x）=0，则x=±1，
若f（x）无最大值，则$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\-2a＞{a}^{3}-3a\\-2a＞2\end{array}\right.$，
解得：a∈（-∞，-1）．
故答案为：2，（-∞，-1）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档．