Question

已知双曲线=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，=6，∠BAF=150°.

(Ⅰ)求双曲线的方程；

(Ⅱ)设Q是双曲线上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若=0，求直线l的斜率.

Answer 1

解：(Ⅰ)由条件知A(a,0),B(0,b),F(c,0).

=(-a,b)·(c-a,0)=a(a-c)=6-,

cos∠BAF==cos150°=-,∴a=c, 

代入a(a-c)=6-中得c=,∴a=,b²=c²-a²=2.故双曲线的方程为=1. 

(Ⅱ)∵点F的坐标为(,0),∴可设直线l的方程为y=k(x-),令x=0,得y=-k,即M(0,-k). 

设Q(m,n),,则=0得(m,n+k)+2(-m,-n)=(0,0), 

即(-m,k-n)=(0,0),.

∵=1,∴=1,得k²=,k=±.

故直线l的斜率为±.