题目内容

若x，y∈（0，+∞），且
x2
2
+
y2 
3
=1，则x
1+y2
的最大值为
2
5
3
2
5
3
．
分析：利用椭圆方程推出y的范围，把x
1+y2
用y来表示，通过二次函数在闭区间上，即可求出最大值．
解答：解：由
x2
2
+
y2 
3
=1，以及x，y∈（0，+∞），可知0＜y≤
3
，
所以x
1+y2
=
x2(1+y2)
=
2(1-
y2
3
 )(1+y2)
=
2
×
1+
2y2
3
-y4

当y2=
1
3
时，x
1+y2
有最大值
2
×
1+
2
3
×
1
3
-(
1
3
)2
=
2
5
3
．
故答案为：
2
5
3
点评：本题考查二次函数闭区间上的最值的求法，换元法的应用，考查计算能力，转化思想．
练习册系列答案
相关题目
请用不等号连接：若x＞y＞0，则xy
＞
＞
y2．
下列不等式中，
（1）若ax＞b，则x＞
b
a
；
（2）若a＞b，x＞y，则ax＞by；
（3）若x＞y＞0，则x2＞y2；
（4）若
x
a2
＞
y
a2
，则x＞y．
其中正确的命题是（　　）
若x，y＞0，且
1
x
+
3
y
=1，则x+3y的最小值为
16
16
．
若x、y满足
0≤x≤2
0≤y≤2
x+y≥1
，则 x2+y2的最小值是
1
2
1
2
．
（1）证明不等式：若x，y＞0，则(x+y)(
1
x
+
1
y
)≥4
（2）探索猜想下列不等式，并将结果填在括号内：若x，y，z＞0，则(x+y+z)(
1
x
+
1
y
+
1
z
)≥
9
9
；
（3）试由（1）（2）归纳出更一般的结论：
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
若x1，x2，…，xn＞0，则(x1+x2+…+xn)(
1
x1
+
1
x2
+…+
1
xn
)≥n2
．

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