Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n，求所有的正整数k，使得对任意的n∈N^*，不等式S_n+K+

Tn

4

＜1恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式及已知条件即可得出；
（Ⅱ）利用等比数列、等差数列的前n项和公式、指数幂的运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ） 设等比数列{a_n}的首项为a₁＞0，公比为q＞0，
∵a₂•a₄=a₆，

2

a3

+

1

a4

=

1

a5

，
∴

a1q•a1q3=a1q5 2 a1q2 + 1 a1q3 = 1 a1q4

，
解得a1=q=

1

2

，
∴an=

1

2n

．
（Ⅱ）∵an=

1

2n

，
∴Sn=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=

1 2 ×(1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

，
Tn=

1

2

×

1

22

×…×

1

2n

=(

1

2

)

n(n+1)

2

，
若存在正整数k，使得不等式Sn+k+

Tn

4

＜1对任意的n∈N^*都成立，
则1-

1

2n+k

+(

1

2

)

n(n+1)

2

+2＜1，即k＜

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]，
∵只有当n=1时，

1

2

[(n-

1

2

)2+

15

4

]取得最小值2，满足题意．
∴k＜2，正整数k只有取k=1．

点评：本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式及其恒成立问题等基础知识，同时考查运算求解能力．