Question

某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x （0＜x＜1），则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润=（出厂价-成本）×日销售量，且设增加成本后的日利润为y．
（Ⅰ）写出y与x的关系式；
（Ⅱ）为使日利润有所增加，问x应在什么范围内？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，根据日利润=（出厂价-成本）×日销售量，可求增加成本后的日利润函数；
（Ⅱ）要保证日利润有所增加，当且仅当

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

，解不等式，即得保证日利润有所增加，投入成本增加的比例x．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵日利润=（出厂价-成本）×日销售量
∴增加成本后的日利润y=[60×（1+0.5x）-40×（1+x）]×1000×（1+0.8x）（0＜x＜1），
整理得 y=2000（-4x²+3x+10）（0＜x＜1）．------------------------------（5分）
（Ⅱ）要保证日利润有所增加，当且仅当

y-(60-40)×1000＞0 0＜x＜1.

----------------------------（7分）
即 

-4x2+3x＞0 0＜x＜1.

-------------------------------------（9分）
解不等式得 0＜x＜

3

4

．
答：为保证日利润有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜

3

4

．

点评：本题重点考查函数模型的构建与解不等式，解题的关键是理解题意，运用日利润=（出厂价-成本）×日销售量
，建立函数关系．