Question

圆经过点A（2，-3）和B（-2，-5）．
（1）若圆的面积最小，求圆的方程；
（2）若圆心在直线x-2y-3=0上，求圆的方程．

Answer 1

分析：（1）要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，即求以AB为直径的圆．
（2）解法1，求出AB中垂线方程，与x-2y-3=0联立，求出圆心，再求出半径后即可得出圆的方程．
解法2，利用待定系数法，设为（x-a）²+（y-b）²=r²，求解．

解答：解：（1）要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以所求圆的圆心为（0，-4），半径长

1

2

|AB|=

5

圆的方程为x²+（y+4）²=5
（2）解法1：因为k_AB=12，AB中点为（0，-4），所以AB中垂线方程为y+4=-2x，即2x+y+4=0，解方程组

2x+y+4=0 x-2y-3=0

得

x=-1 y=-2.

所以圆心为（-1，-2）．根据两点间的距离公式，得半径r=

10

，因此，所求的圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=10
解法2：所求圆的方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，
根据已知条件得

(2-a)2+(-3-b)2=r2 (-2-a)2+(-5-b)2=r2 a-2b-3=0

⇒

a=-1 b=-2 r2=10.

所以所求圆的方程为（x+1）²+（y+2）²=10．

点评：本题考查圆的方程求解，可以常用的方法有：定义法（即分别求出圆心、半径），待定系数法．若能充分利用圆的几何性质，可有效的减少计算量．问题（2）的两种解法能体现出这一点．