题目内容

椭圆的离心率为
1
2
，并且经过点（2，0），此椭圆的标准方程可能是（　　）
分析：由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．
解答：解：（1）当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=2，
c
a
=
1
2
，
∴c=1，
∴b2=a2-c2=3．
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
（2）当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=2，
c
a
=
1
2
，
同理得椭圆的方程为
y2
16
3
+
x2
4
=1．
综上知，所求椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1或
y2
16
3
+
x2
4
=1．
故选A．
点评：本题重点考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．
练习册系列答案
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精英家教网如图，F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为
1
2
．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M的半径为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点A的直线l与圆M交于P、Q两点，且
MP
•
MQ
=-2求直线l的方程．
已知点P(
3
2
，1)在椭圆Q：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上，且该椭圆的离心率为
1
2
．
（1）求椭圆Q的方程；
（2）若直线l与直线AB：y=-4的夹角的正切值为2，且椭圆Q上的动点M到直线l的距离的最小值为
5
，求直线l的方程．
已知椭圆Ω的离心率为
1
2
，它的一个焦点和抛物线y2=-4x的焦点重合．
（1）求椭圆Ω的方程；
（2）若椭圆
x2    
a2
+
 y2   
b2
=1(a＞b＞0)上过点（x0，y0）的切线方程为
 x0x   
a2
+
y0y    
b2
=1．
①过直线l：x=4上点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点C；
②是否存在实数λ使得|AC|+|BC|=λ•|AC|•|BC|，若存在，求出A的值；若不存在，说明理由．
已知直线y=-x+1与椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点）．
（1）若椭圆的离心率为
1
2
，求椭圆的方程；
（2）求证：不论a，b如何变化，椭圆恒过第一象限内的一个定点P，并求点P的坐标．
精英家教网如图，点F是椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
1
2
，三角形ABF的面积为
3
3
2
，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N （M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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