Question

20．在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在线段BD₁上，且$\frac{BP}{P{D}_{1}}=\frac{1}{2}$，M为线段B₁C₁上的动点，则三棱锥M-PBC的体积为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． 与M点的位置有关

Answer 1

分析 如图所示，连接BC₁，取$\frac{BN}{N{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，可得PN∥D₁C₁，$\frac{PN}{{D}_{1}{C}_{1}}=\frac{BP}{B{D}_{1}}=\frac{1}{3}$=1，由于D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，可得PN⊥平面BCC₁B₁，利用三棱锥M-PBC的体积=V_{三棱锥P-BCM}=$\frac{1}{3}PN•{S}_{△BCM}$即可得出．

解答 解：如图所示，连接BC₁，取$\frac{BN}{N{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
则PN∥D₁C₁，$\frac{PN}{{D}_{1}{C}_{1}}=\frac{BP}{B{D}_{1}}=\frac{1}{3}$，PN=1，
∵D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，
∴PN⊥平面BCC₁B₁，
即PN是三棱锥P-BCM的高．
∴V_{三棱锥M-PBC}=V_{三棱锥P-BCM}=$\frac{1}{3}PN•{S}_{△BCM}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{3}^{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．