Question

（2013•昌平区一模）过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，若点A，B关于原点对称，且k1•k2=-

1

3

，则此椭圆的离心率为

6

3

．

Answer 1

分析：先设出M，A，B的坐标，把它们代入椭圆方程，方程相减可分别表示出MA和MB的斜率，二者相乘等于-

1

3

同时把x₁=-x₂，y₁=-y₂代入解求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．

解答：解：设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把它们代入椭圆方程得

x02

a2

+

y02

b2

=1①，

x12

a2

+

y12

b2

=1②．
②-①得MA的斜率k₁=

y0-y1

x0-x1

=-

b2(x0+x1)

a2(y0+y1)

，
同理MB的斜率k₂=

y0-y2

x0-x2

=-

b2(x0+x2)

a2(y0+y2)

，k₁•k₂=

b4(x 0+x 2)(x0+x1)

a4(y0+y2)(y0+y1)

=-

1

3

，
A、B是椭圆上关于原点对称的两点，x₁=-x₂，y₁=-y₂．
∴

b2

a2

=

1

3

，即a²=3b²，
∴c²=a²-b²=

2

3

a²，
∴e=

c

a

=

6

3

．
故答案为：

6

3

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．当直线与椭圆相交时，涉及弦长中点时，或直线的斜率时都可采用点差法，设出点代入椭圆方程，然后相减，与直线的斜率和弦的中点相联系．