Question

已知函数f（x）=ax²+2ln（1-x）（a∈R），且f（x）在[-3，-2）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-∞，-

  1

  6

  )
• B．[-

  1

  6

  ，+∞)
• C．(-

  1

  6

  ，+∞)
• D．(-∞，-

  1

  6

  ]

Answer 1

分析：求出函数的导数，利用导数在[-3，-2）恒为正，通过二次函数的最值，即可求出实数a的取值范围

解答：解：求导函数，可得f′(x)=2ax-

2

1-x

由题意得f′（x）≥0对一切x∈[-3，-2）恒成立，
∴a≤

1

-x2+x

=

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

当x∈[-3，-2）时，-（x-

1

2

）²+

1

4

＜-6，
∴

1

-(x- 1 2 )2+ 1 4

＞-

1

6

．故a≤-

1

6

故选D．

点评：本题考查求函数的导数以及函数的最值问题，体现转化的数学思想，考查了二次函数在定区间上的最值问题，恒成立问题，属中档题．