Question

已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且cosBcosC-sinBsinC=

1

2

．
（1）求A；
（2）若a=2

3

，b+c=4，求bc的值，并求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出B+C的度数，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c以及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A、B、C为△ABC的三个内角，且cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）=

1

2

，
∴B+C=

π

3

，
则A=

2π

3

；
（2）∵a=2

3

，b+c=4，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc，即12=16-bc，
解得：bc=4，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×

3

2

=

3

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．