Question

3．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，}&{x＞0}\\{-{2}^{x}+a，}&{x≤0}\end{array}\right.$有且只有一个零点时，a的取值范围是（　　）

• A． a≤0
• B． 0＜a＜$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$＜a＜1
• D． a≤0或a＞1

Answer 1

分析 易知1是函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lgx，}&{x＞0}\\{-{2}^{x}+a，}&{x≤0}\end{array}\right.$的零点，故函数f（x）在（-∞，0]上没有零点，从而转化为a＞2^x，或a＜2^x在（-∞，0]上恒成立，再转化为最值问题即可．

解答 解：∵f（1）=lg1=0，
∴当x≤0时，函数f（x）没有零点，
故-2^x+a＞0或-2^x+a＜0在（-∞，0]上恒成立，
即a＞2^x，或a＜2^x在（-∞，0]上恒成立，
故a＞1或a≤0；
故选D．

点评 本题考查了分段函数的应用，函数零点与方程的关系应用及恒成立问题，属于基础题．