Question

18．已知函数f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数f（x）的最小值；
（2）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f（B）=1，b=4，△ABC的面积s=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式即可求T，由x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，可求2x+$\frac{π}{6}$的范围，从而可求f（x）的范围，即可得解．
（2）由f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，结合角B的范围即可求出B的值，sinB，cosB的值，由s=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，可解得ac，由余弦定理可解得a+c=2$\sqrt{10}$，从而可求△ABC的周长．

解答 解：（1）∵f（x）=cos⁴x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin⁴x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数f（x）的最小值是：-1．
（2）∵f（B）=2sin（2B+$\frac{π}{6}$）=1，sin（2B+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵0＜B＜π，可得2B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{13π}{6}$）
∴可解得：2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得B=$\frac{π}{3}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosB=$\frac{1}{2}$，
∵s=2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ac，可得ac=8，
∴由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，可得：16=a²+c²-ac，
∴解得：（a+c）²-3ab=16，即解得：（a+c）²=40，从而有：a+c=2$\sqrt{10}$，
∴△ABC的周长=a+b+c=2$\sqrt{10}$+4．

点评 本题主要考察了余弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，考查了同角三角函数基本关系的运用，三角函数的周期性及其求法，综合性较强，属于中档题．