Question

12．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\frac{2sinC-sinB}{sinB}$=$\frac{acosB}{bcosA}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=3，sinC=2sinB，求b、c 的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理可得abcosB=（2c-b）bcosA，结合余弦定理可得bc=b²+c²-a²，由余弦定理可解得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可求A的值．
（Ⅱ）由已知及正弦定理可得c=2b，由余弦定理可得：a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+4b²-2b×$2b×\frac{1}{2}$，从而可解得b，c的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{2sinC-sinB}{sinB}=\frac{acosB}{bcosA}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{2c-b}{b}$=$\frac{acosB}{bcosA}$，即abcosB=（2c-b）bcosA，
∴由余弦定理可得：ab$•\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=（2c-b）•b$•\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴整理可得：bc=b²+c²-a²，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴结合0＜A＜π，可解得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵sinC=2sinB，
∴由正弦定理可得：c=2b，
∴由余弦定理可得：a²=9=b²+c²-2bccosA=b²+4b²-2b×$2b×\frac{1}{2}$，可解得：b=$\sqrt{3}$，
∴c=2b=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于基本知识的考查．