题目内容
已知抛物线C：y2=2ax（a＜0）,过点(-1,0)作直线l交抛物线C于A、B两点，问是否存在以AB为直径且过抛物线的焦点F的圆?
思路解析：实际的问题是：是否存在实数a，使得以AB为直径且过抛物线C的焦点F的圆存在，这里首先设出直线l的方程，代入抛物线方程，再利用根与系数关系及条件AF⊥BF求解. 解：设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0），代入抛物线C：y2=2ax整理得k2x2+（2k2-2a）x+k2=0 ① 若以AB为直径且过焦点F的圆存在，则AF⊥BF. ∵F（ 即k2（x1+1）（x2+1）+（x1- 由方程①有x1+x2= ∵k2＞0,∴a2+12a+4＞0且a＜0. 解得a＜-6-4 又当k不存在时,直线l:x=-1,可得A(-1,- 方法归纳 在解题过程中,应注意对k进行分类讨论,还应注意a＜0对所求结果的影响.另外,在解题中,也可设直线l的方程为ky=x+1(k≠0),这对简化运算有一定的帮助.
，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），则
·
=-1，
）（x2-
）=0. ②
,x1x2=1,代入②,整理得k2=
.
或-6+4
＜a＜0.
),B(-1,
),由kAF·kBF=-1得a=-6±4
.故当a≤-6-4
或-6+4
≤a＜0时,存在满足题设的圆;当-6-4
＜a＜-6+4
时,不存在这样的圆.
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如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点． A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M（O为坐标原点）．
已知抛物线C：y2=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．