Question

函数y=sin²x+2cosx在区间[-

2

3

π，a]上的最小值为-

1

4

，则a的取值为（　　）

• A、[

  2

  3

  π，+∞）
• B、[0，

  2

  3

  π]
• C、（-

  2

  3

  π，

  2

  3

  π]
• D、（-

  2

  3

  π，

  4

  3

  π]

Answer 1

分析：令t=cosx代入解析式利用配方法进行整理，根据函数最小值求出对应的x值，由余弦函数图象和二次函数的性质求出x的范围．

解答：解：由题意知，y=sin²x+2cosx=-cos²x+2cosx+1，设t=cosx，
则函数y=-t²+2t+1=-（t-1）²+2，令-（t-1）²+2=-

1

4

，解得t=-

1

2

或

5

2

，
∵cosx≤1，∴t=-

1

2

，即cosx=-

1

2

，x=

2π

3

+2kπ或-

2π

3

+2kπ（k∈Z），
在坐标系中画出函数y=cosx的图象：

由图和x∈[-

2

3

π，a]上得，a的取值为（-

2

3

π，

2

3

π]
故选C．

点评：本题考查了正弦（余弦）函数的二次式最值问题，利用平方关系将函数名进行统一，再利用换元法将函数转化为二次函数，根据正弦（余弦）函数和二次函数的性质求解，考查了数形结合和转化思想．