Question

已知向量

OA

，

OB

满足|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，

OC

=λ

OA

+μ

OB

 （λ，μ∈R），若M为AB的中点，并且|

MC

|=1，则点（λ，μ）在以

(

1

2

，

1

2

)

为圆心，

1

为半径的圆上．

Answer 1

分析：利用数量积的定义以及向量的基本运算建立λ，μ的方程即可．

解答：解：∵向量

OA

，

OB

满足|

OA

|=|

OB

|=1，

OA

•

OB

=0，
∴将A，B放入平面坐标系中，令A（1，0），B（0，1），
∵M为AB的中点，∴M（

1

2

，

1

2

），
∵

OC

=λ

OA

+μ

OB

 （λ，μ∈R），
∴

OC

=λ

OA

+μ

OB

=λ（1，0）+μ（0，1）=（λ，μ），
即C（λ，μ），
∴

MC

=(λ-

1

2

，μ-

1

2

)，
∵|

MC

|=1，
∴(λ-

1

2

)2+(μ-

1

2

)2=1，
即点（λ，μ）在以(

1

2

，

1

2

) 为圆心，1为半径的圆上．
故答案为：(

1

2

，

1

2

)，1．

点评：本题主要考查数量积的应用，利用条件将点A，B用坐标表示是解决本题的关键．