Question

在直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠ C=90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD=3DC，△ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．

(Ⅰ)求双曲线E的方程；

(Ⅱ)若过一点P(m，0)(m为常数)的斜率存在的直线l与双曲线E交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且，问在x轴上是否存在定点G，使?若存在，求出所有这样的定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：( Ⅰ)设所求双曲线方程为

(a＞0,b＞0),C(c,0)

∵BD=3DC,∴a+c=3(c-a),∴c=2a,b=a,

将x=c代入方程得y=±,

∴AC==3a,于是AB=5a,又BC=2c=4a,

∴5a+3a+4a=12,∴a=1,则b=,

∴双曲线的方程为:x²-=1

(Ⅱ)设在x轴上是存在定点G(t,0),使⊥(-λ)

设直线l：y=k(x-m),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

将y=k(x-m)代入x²-=1并整理得，

(3-k²)x²+2mk²x-k²m²-3=0,

∵3-k²≠0

∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=-,

∵-λ=(x₁-t-λx₂+λt,y₁-λy₂),=(4,0),

∴⊥(-λ)的充要条件是x₁-t-λx₂+λt)=0

由=λ,得y₁+λy₂=0,∴λ=-, 

又y₁=k(x₁-m),y₂=k(x₂-m),

∴x₁-t-λx₂+λt=x₁-t+

=x₁-t+

=,

即2x₁x₂-(x₁+x₂)(m+t)+2mt=0. 

∴2(m+t)+2mt=0,

化简得mt=1,∴t=,

∴在x轴上存在定点G(,0),使⊥().