Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求在区间上的最值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，有恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）（﹣1，0）

【解析】

（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．

（1）当时，，

∴．

∴当时，单调递减；当时，单调递增．

∴当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为．

又，，

∴．

所以函数在区间上的最小值为，最大值为．

（2）由题意得，．

①当，即时，恒成立，

∴在上单调递减．

②当时，恒成立，

∴在上单调递增．

③当时，，

由得，或（舍去），

∴在上单调递减，在上单调递增．

综上可得，当，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在单调递增；

当时，在上单调递减．

（3）由（2）可得，当时，，

若不等式恒成立，则只需，

即，

整理得，

解得，

∴，

又，

∴．

∴实数的取值范围为．