Question

已知椭圆的右焦点为F，右准线与x轴交于E点，若椭圆的离心率e=，且|EF|=1．
（1）求a，b的值；
（2）若过F的直线交椭圆于A，B两点，且与向量共线（其中O为坐标原点），求与的夹角．

Answer 1

解：（1）由题意知，c=1，从而b=1．

（2）由（1）知F（1，0），显然直线不垂直于x轴，可设直线AB：y=k（x-1），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，
则=，
于是，
依题意：，故，或k=0（舍）
又，故，
所以与的夹角为90°．
分析：（1）由题意知，由此可求出a，b的值．
（2）设直线AB：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则消去y，得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0，然后结合题意利用根与系数和关系进行求解．
点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．