Question

【题目】已知正方形，分别是的中点，将沿折起，如图所示，记二面角的大小为

（1）证明：

（2）若为正三角形，试判断点在平面内的身影是否在直线上，证明你的结论，并求角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）沿折起，其它边不变，可知且，则有四边形为平行四边形，那么，又由于，，故；（2）解法一：过点A作，垂足为G，连接，由于，则有，故点A在CD的中垂线EF上，过点作，垂足为，连接，由已知得，故，则即是，设原正方形的边长为，根据已知边和角的关系可以求得；方法三：点在平面内的射影在直线上证法同法一，建立空间直角坐标系，先求平面CED的法向量，再求平面ADE的法向量，可得二面角的余弦值，进而得到．

解：（1）证明：分别是正方形的边的中点，

∴且，则四边形为平行四边形，

∴.

又，而，

∴

（2）解法一：过点作，垂足为，连接.

∵为正三角形，，∴，

∴在垂直平分线上，又∵是的垂直平分线，

∴点在平面内的射影在直线上

过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.

设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，

∴为直角三角形，，∴.

在中，，∴，则，即.

解法二：点在平面内的射影在直线上，连接，在平面内过点作，垂足为

∵为正三角形，为的中点，

∴.

又∵，∴.

∵，∴

又∵且，

∴

∴为在平面内的射影，

∴点在平面内的射影在直线上

过点作，垂足为，连接，则，∴是二面角的平面角，即.

设原正方形的边长为，连接，在折后图的中，，

∴为直角三角形，，∴.

在中，，∴，则，即.

解法三：（同解法一）

点在平面内的射影在直线上，

如图，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，过点作平行于的向量为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设正方形的边长为，连接，.所以，，，，.

又平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为.

则，即，所以

所以，即.