Question

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y²=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）。
（1）求圆C的方程；
（2）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求的最大值和最小值。

Answer 1

解：（1）设A、B两点坐标为，
由题设知
解得
所以或
设圆心C的坐标为（r，0），则
因此圆C的方程为。
（2）设∠ECF=2α，
则
在中，
由圆的几何性质得：|PC|≤|MC|+1=7+1=8，|PC|≥|MC|-1=7-1=6
所以
由此可得
故的最大值为，最小值为-8。