题目内容

已知函数f（x）=x²+bx（b∈R）， $数学公式$ ， $数学公式$
（Ⅰ）当a=b=1时，求H（x）；
（Ⅱ）当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0时，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一个实根，求证：b、c中至少有一个负数．

解：（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x， $\text{[math]}$
由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
g[f（x）]=g（x²+x）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即 $\text{[math]}$ 在[2，+∞）恒成立
∴ $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）= $\text{[math]}$ ，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x）_max=h（2）= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于 $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]单调递减，在 $\text{[math]}$ 单调递增
∴ $\text{[math]}$ ＞0
∵c+ $\text{[math]}$ +c在[2 $\text{[math]}$ ，+∞）单调递增
∴c+ $\text{[math]}$ +c= $\text{[math]}$ 在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假设错误即b，c至少有一个为非负数
分析：（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x， $\text{[math]}$ 由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1，代入可求
（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立，即 $\text{[math]}$ 在x∈[2，+∞）恒成立，令h（x）= $\text{[math]}$ ，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则b≥h（x）_max可求
（III）利用反证法进行证明
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，分段函数的应用，及理由函数的单调性求解函数的最值，还要注意函数的恒成立问题与最值之间的相互转化