Question

（本题满分15分）已知在定义域上是奇函数，且在上是减函数，图像如图所示.

（1）化简：；

（2）画出函数在上的图像；

（3）证明:在上是减函数.

 

Answer 1

【答案】

（1）

；

（2）图像

（3）函数在区间上是减函数.

【解析】

试题分析：(I)由于f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x),所以可知,因而所求式子的结果为0.

(II)根据奇函数的图像关于原点对称，直接可画出在对称区间[-b,-a]上的图像.

（III）利用函数的单调性的定义及函数的奇偶性进行证明.

第一步：取值，第二步：作差变形，第三步根据差值符号得到结论.

（1）

……

（2）图像……

（3）任取，且          ……

.

又函数在上是减函数，所以 .  ……

因为是奇函数，所以，即，

故函数在区间上是减函数.              …….

考点：函数单调性定义，函数的奇偶性，函数的图像.

点评：函数的奇偶性一要看定义域是否关于原点对称，二要看f(-x)与f(x)是相等还是互为相反数.奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.利用函数的单调性定义证明分三个步骤：一取值，二作差变形，三判断差值符号.