Question

(1)设a＞b＞0,求证:.

(2)已知0＜α＜π,证明2sin2α≤cot,并指出等号成立的条件.

Answer 1

证明：(1)要证,

∵a＞b＞0,有＞0,

∴需证()³＞()³,

展开得a-b＞a-+,

即证明＞0,

也就是证＞0,

在题设条件下这一不等式显然成立,

∴原不等式成立.

(2)要证2sin2α≤cot,

由0＜α＜π知sinα＞0,

只需证2sinα·sin2α≤1+cosα,

即证明4sin²αcosα-(1+cosα)≤0,

也就是证(1+cosα)［4(1-cosα)cosα-1］≤0,

而1+cosα＞0,于是只要证-4cos²α+4cosα-1≤0,

即-(2cosα-1)²≤0,

就是(2cosα-1)²≥0,这是显然的.

∴2sin2α≤cot,等号在2cosα=1,α=时取得.