Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD=1，BC=2，AB=3，P是AB上的一个动点，∠CPB=α，∠DPA=β．
（Ⅰ）当

PD

•

PC

最小时，求tan∠DPC的值；
（Ⅱ）当∠DPC=β时，求

PD

•

PC

的值．

Answer 1

分析：（I）以A为原点，AB所在直线为x轴，分别写出点A，B，C，D，P的坐标，利用数量积和二次函数的单调性\两角和的正切公式即可得出；
（II）利用诱导公式和倍角公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）以A为原点，AB所在直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系．
则A（0，0），B（3，0），C（3，2），
D（0，1），令P（x，0），0≤x≤3
有

PD

=(-x，1)，

PC

=(3-x，2)
所以

PD

•

PC

=x2-3x+2=(x-

3

2

)2-

1

4

，
当x=

3

2

时，

PD

•

PC

最小
此时P(

3

2

，0)，在△CPB中，tanα=

2

3 2

=

4

3

，
在△DPA中，tanβ=

1

3 2

=

2

3

所以tan∠DPC=-tan(α+β)=

tanα+tanβ

tanαtanβ-1

=

4 3 + 2 3

4 3 • 2 3 -1

=-18，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，P(x，0)，

PD

•

PC

=x2-3x+2，
tanα=

2

3-x

，tanβ=

1

x

，
∵∠DPC=β，∴α=π-2β，tanα=-tan2β
∴

2

3-x

=-

2• 1 x

1- 1 x2

整理得：x=

1

3

此时

PD

•

PC

=(

1

3

)2-1+2=

10

9

．

点评：熟练掌握数量积和二次函数的单调性\两角和的正切公式、诱导公式和倍角公式是解题的关键．