Question

已知实数x，y满足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，若不等式a（x²+y²）≥（x+y）²对于满足上述条件的实数x，y恒成立，则实数a的最小值为（　　）

• A．

  7

  5

• B．

  9

  5

• C．2
• D．

  5

  2

Answer 1

分析：确定约束条件的平面区域，求得与原点连线的斜率的范围，再分离参数，利用函数的单调性，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：实数x，y满足

2x-y≤0 x+y-5≥0 y-4≤0

，可行域是一个三角形，三角形的三个顶点分别为（1，4），（2，4），（

5

3

，

10

3

），与原点连线的斜率分别为4，2，∴

y

x

∈[2，4]
不等式a（x²+y²）≥（x+y）²等价于a≥1+

2

y x + x y

∵

y

x

+

x

y

在[2，4]上单调增
∴

5

2

≤

y

x

+

x

y

≤

17

4

∴

8

17

≤

2

y x + x y

≤

4

5

∴a≥

9

5

故选B．

点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．