Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-（2a+1）x²+3a（a+2）x+1．a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；
（2）当函数y=f′（x）在（0，4）上有唯一的零点时，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，确定切点的坐标与切线的斜率，即可求得切线方程；
（2）求导函数，并因式分解，得到方程的两个根，进而分类讨论，利用函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，建立不等式，即可求得结论．

解答：解：（1）当a=0时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，
∴f（3）=1，
∵f'（x）=x²-2x-----------------------------（2分）
∴曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f'（3）=3
∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8----------------（4分）
（2）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）
∴x₁=3a，x₂=a+2-----------------------------------------------（6分）
①当x₁=x₂时，3a=a+2，解得a=1，这时x₁=x₂=3，函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；（7分）
②当x₁＞x₂时，即3a＞a+2⇒a＞1，这时x₁＞x₂＞3，
又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，-----------------------（10分）
③当x₁＜x₂时，即a＜1，这时x₁＜x₂＜3
又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，
∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0------------------------（13分）
综上得当函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点时，-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．----------------（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．