题目内容

已知函数 $数学公式$ ，g（x）=[f（x）]²-4，h（x）是g（x）的反函数，
（1）求函数f（x）的定义域与值域；
（2）求不等式h（x）＜2的解集；
（3）求函数y=g（-|x|）的单调区间．

解：（1）由4+2^x＞0，可得函数f（x）的定义域为R，
∵2^x＞0，∴4+2^x＞4，∴函数 $\text{[math]}$ 的值域为（2，+∞）；
（2）∵g（x）=[f（x）]²-4=2^x，∴h（x）=log₂x
∴h（x）＜2即log₂x＜2，∴0＜x＜4
∴不等式h（x）＜2的解集为：（0，4）
（3）∵g（x）=[f（x）]²-4=2^x，
∴ $\text{[math]}$
∴函数y=g（-|x|）的单调递增区间为：（-∞，0），单调递减区间为：（0，+∞）
分析：（1）由4+2^x＞0，可得函数f（x）的定义域，确定4+2^x＞4，可得函数 $\text{[math]}$ 的值域；
（2）先确定h（x）=log₂x，即可求得不等式h（x）＜2的解集；
（3）确定函数y=g（-|x|）的解析式，即可求得函数y=g（-|x|）的单调区间．
点评：本题考查函数的定义域与值域，考查函数的单调性，考查学生的计算能力，属于中档题．

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