题目内容

已知曲线C：xy=1，若矩阵M=
.
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2
-
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2
2
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2
.
对应的变换将曲线C变为曲线C′，求曲线C′的方程．
分析：设曲线C：xy=1上的任意一点P（x′，y′），变换后的点为P′（x，y）的关系，将点P（x′，y′）的坐标代入曲线C：xy=1的方程即可求出曲线C′的方程．
解答：解：设曲线C：xy=1上的任意一点P（x′，y′），变换后的点为P′（x，y），
∴
.
2
2
-
2
2
2
2
2
2
.
x′ 
y′ 
=
x 
  
y 
，∴
2
2
x′-
2
2
y′=x，
2
2
x′+
2
2
y′=y，
∴x′=
x+y
2
，y′=
y-x
2
，
∴x′y′=
x+y
2
•
y-x
2
=1，
∴曲线C′的方程y2-x2=2．
点评：本题主要考查矩阵与变换、曲线在矩阵变换下的曲线的方程，考查运算求解能力及化归与转化思想．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列An（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（1）求xn与xn+1的关系式；
（2）求证：{
1
xn-2
+
1
3
}是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…+（-1）nxn＜1（n∈N，n≥1）．
已知曲线C：xy=1，过C上一点A1（x1，y1）作斜率k1的直线，交曲线C于另一点A2（x2，y2），再过A2（x2，y2）作斜率为k2的直线，交曲线C于另一点A3（x3，y3），…，过An（xn，yn）作斜率为kn的直线，交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）…，其中x1=1，kn=-
xn+1
x
2
n
+4xn
(x∈N*)
（1）求xn+1与xn的关系式；
（2）判断xn与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x1-2|+|x2-2|+…+|xn-2|＜2．
已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率kn=-
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1）．
（1）求xn与xn+1之间的关系式；
（2）若x1=
11
7
，求证：数列
1
xn-2
+
1
3
是等比数列；
（3）求证：（-1）x1+（-1）2x2+（-1）3x3+…（-1）nxn＜1（n∈N*）
已知曲线C：xy=1
（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；
（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．
（2009•滨州一模）已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn与xn+1的关系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{bn}是等比数列；
（III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

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