题目内容

如图，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

D
分析：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线PQ方程与抛物线方程消掉y得x的二次方程，根据韦达定理及斜率公式可求得k_BP+k_BQ=0，再由已知k_BP•k_BQ=-3可解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此可知∠BNM与∠BMN的大小，由三角形内角和定理可得∠MBN．
解答：设直线PQ的方程为：y=kx-1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ 得x²-2pkx+2p=0，△＞0，
则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=2p，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =0，即k_BP+k_BQ=0①
又k_BP•k_BQ=-3②，
联立①②解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN= $\text{[math]}$ ，
故选D．
点评：本题考查直线、抛物线方程及其位置关系等知识，解决本题的关键是通过计算发现直线BP、BQ斜率互为相反数．

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如图，已知抛物线的方程为x²=2px（p＞0，为常数），过点M（0，m）且倾斜角为θ(0＜θ＜

)的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且x1x2=-p2
（1）求m的值
（2）若点M分AB所成的比为λ=

，求直线AB的方程．

（2013•浙江模拟）如图，已知抛物线的方程为x²=2py（p＞0），过点A（0，-1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3，则∠MBN的大小等于（　　）

.(2007湖南示范) 如图，已知抛物线的方程为，

过点M（0，m）且倾斜角为的直线交抛物线于

A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）两点，且

（1）求m的值

（2）（文）若点M分所成的比为，求直线AB的方程

（理）若点M分所成的比为，求关于的函数关系式。

如图，已知抛物线的方程为，过点作直线与抛物线相交于两点，点的坐标为，连接，设与轴分别相交于两点．如果的斜率与的斜率的乘积为，则的大小等于（）

A． B． C． D．

如图，已知抛物线的方程为x²=2px（p＞0，为常数），过点M（0，m）且倾斜角为

的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且

（1）求m的值
（2）若点M分AB所成的比为

，求直线AB的方程．